1. Fundamentos matemáticos

Una matriz cuadrada A ∈ ℝⁿˣⁿ es invertible si existe A⁻¹ tal que A·A⁻¹ = A⁻¹·A = Iₙ. La existencia depende de que det(A) ≠ 0 y que la matriz sea de rango completo.

1.1. Métodos clásicos

• Gauss‑Jordan: transforma [A|I] en [I|A⁻¹] mediante eliminaciones elementales.
• Descomposición LU: calcula A = L·U y después resuelve dos sistemas triangulares para obtener A⁻¹.
• Método de la adjunta: A⁻¹ = (1/det(A))·adj(A), útil solo para matrices pequeñas por su complejidad O(n³).

2. Implementación paso a paso en Python (sin librerías externas)

2.1. Algoritmo Gauss‑Jordan

import copy
def gauss_jordan_inverse(matrix):
    n = len(matrix)
    # Copia la matriz y crea la identidad ampliada
    A = [list(row) for row in matrix]
    I = [[float(i == j) for j in range(n)] for i in range(n)]
    for col in range(n):
        # 1️⃣ Busca pivote
        pivot_row = max(range(col, n), key=lambda r: abs(A[r][col]))
        if abs(A[pivot_row][col]) < 1e-12:
            raise ValueError('La matriz es singular y no tiene inversa')
        # 2️⃣ Intercambia filas si es necesario
        A[col], A[pivot_row] = A[pivot_row], A[col]
        I[col], I[pivot_row] = I[pivot_row], I[col]
        # 3️⃣ Normaliza la fila pivote
        piv = A[col][col]
        A[col] = [elem / piv for elem in A[col]]
        I[col] = [elem / piv for elem in I[col]]
        # 4️⃣ Elimina la columna en otras filas
        for r in range(n):
            if r != col:
                factor = A[r][col]
                A[r] = [a - factor * b for a, b in zip(A[r], A[col])]
                I[r] = [a - factor * b for a, b in zip(I[r], I[col])]
    return I
# Ejemplo de uso
A = [[4, 7], [2, 6]]
print('Matriz original:', A)
print('Inversa calculada:', gauss_jordan_inverse(A))

El algoritmo tiene complejidad O(n³) y es adecuado para matrices de tamaño medio (hasta ~500×500) cuando no se dispone de librerías optimizadas.

2.2. Comparativa rápida con numpy.linalg.inv

import numpy as np, time
A = np.random.rand(500, 500)
# Versión NumPy
start = time.time()
inv_np = np.linalg.inv(A)
print('Tiempo NumPy:', time.time() - start)
# Versión Gauss‑Jordan (solo para demostración, no recomendado en producción)
start = time.time()
inv_gj = gauss_jordan_inverse(A.tolist())
print('Tiempo Gauss‑Jordan puro Python:', time.time() - start)

En máquinas modernas, numpy.linalg.inv suele ser entre 10 y 50 veces más rápido gracias a BLAS/LAPACK subyacentes y a la ejecución en C.

3. Tabla comparativa de algoritmos

4. Buenas prácticas y optimización

• Evita calcular la inversa cuando sea posible. En la mayoría de los casos, resolver Ax = b mediante solve es más estable y rápido.
• Condición numérica: verifica el número de condición con np.linalg.cond. Valores > 1e12 indican posible pérdida de precisión.
• Uso de tipos de dato adecuados: para matrices muy grandes, considera float32 en GPU para reducir el consumo de memoria.
• Paralelismo: si trabajas con lotes de matrices, usa numpy.einsum o torch.batch_inverse para aprovechar vectorización.

5. Solución de problemas comunes

5.1. "Matrix is singular"

El pivote es cero o cercano a cero. Soluciones:

1. Aplicar pivoting parcial (ya incluido en el ejemplo).
2. Re‑escalar la matriz para mejorar la estabilidad numérica.
3. Si la singularidad es estructural, reconsidera el modelo: tal vez la ecuación no tenga solución única.

5.2. Pérdida de precisión

Usa np.float64 o Decimal para casos críticos; sin embargo, el coste computacional aumenta.

6. Escalabilidad y despliegue en producción

Para entornos de alto rendimiento:

• Empaqueta la lógica en una API REST con FastAPI y reutiliza la función de inversa de NumPy.
• Usa Docker o Podman para garantizar versiones coherentes de BLAS/LAPACK (por ejemplo, openblas).
• En clústeres Kubernetes, habilita nodeAffinity para nodos con GPUs y ejecuta la versión CuPy cuando sea necesario.

# Dockerfile minimalista con NumPy y OpenBLAS
FROM python:3.12-slim
RUN apt-get update && apt-get install -y libopenblas-dev && rm -rf /var/lib/apt/lists/*
COPY requirements.txt ./
RUN pip install --no-cache-dir -r requirements.txt
COPY . /app
WORKDIR /app
CMD ["uvicorn", "main:app", "--host", "0.0.0.0", "--port", "8000"]