Introducción

La cinemática de robots permite calcular la posición y orientación (pose) del extremo‑efector a partir de los valores de las articulaciones (cinemática directa) o, inversamente, determinar los valores de las articulaciones que logren una pose deseada (cinemática inversa). En este artículo nos enfocaremos en la cinemática directa usando matrices de transformación homogénea, una técnica que sigue siendo la base de la mayoría de los controladores modernos.

Fundamentos de la Cinemática con Matrices de Transformación

Una matriz de transformación homogénea 4×4 combina rotación y traslación en un solo objeto matemático:

\[T = \begin{bmatrix} R_{3×3} & d_{3×1} \\ 0\;0\;0 & 1 \end{bmatrix}\]

• R: matriz de rotación (SO(3)).
• d: vector de traslación en el espacio del eslabón anterior.

Al encadenar n eslabones, la pose del extremo‑efector se obtiene mediante la multiplicación sucesiva de todas las matrices:

\[T_{0}^{n}=T_{0}^{1}\;T_{1}^{2}\;\dots\;T_{n-1}^{n}\]

Algoritmo Paso a Paso

1. Definir los parámetros DH (Denavit‑Hartenberg) o utilizar la formulación POE (Product of Exponentials) para cada articulación.
2. Construir la matriz de transformación T_i de cada eslabón.
   • Para una articulación revoluta:
     T_i = Rot(z, θ_i)·Trans(z, d_i)·Trans(x, a_i)·Rot(x, α_i)
   • Para una articulación prismática:
     T_i = Rot(z, θ_i)·Trans(z, d_i)·Trans(x, a_i)·Rot(x, α_i) (con θ_i constante y d_i variable).
3. Multiplicar secuencialmente todas las matrices para obtener T_0^n.
4. Extraer la posición p = T_0^n[0:3, 3] y la orientación (matriz R o ángulos de Euler).

Implementación en Python (NumPy)

El siguiente ejemplo muestra cómo calcular la pose de un manipulador de 3 DOF usando la convención DH.

import numpy as np
def rot_x(alpha):
    return np.array([[1, 0, 0, 0],
                     [0, np.cos(alpha), -np.sin(alpha), 0],
                     [0, np.sin(alpha),  np.cos(alpha), 0],
                     [0, 0, 0, 1]])
def rot_z(theta):
    return np.array([[np.cos(theta), -np.sin(theta), 0, 0],
                     [np.sin(theta),  np.cos(theta), 0, 0],
                     [0, 0, 1, 0],
                     [0, 0, 0, 1]])
def trans_x(a):
    return np.array([[1, 0, 0, a],
                     [0, 1, 0, 0],
                     [0, 0, 1, 0],
                     [0, 0, 0, 1]])
def trans_z(d):
    return np.array([[1, 0, 0, 0],
                     [0, 1, 0, 0],
                     [0, 0, 1, d],
                     [0, 0, 0, 1]])
def dh_transform(theta, d, a, alpha):
    """Matriz DH homogénea 4×4"""
    return rot_z(theta) @ trans_z(d) @ trans_x(a) @ rot_x(alpha)
# Parámetros DH del robot (ejemplo 3‑DOF)
params = [
    # theta, d, a, alpha (rad y metros)
    (np.deg2rad(30), 0.4, 0.025, np.deg2rad(90)),
    (np.deg2rad(45), 0,   0.3,   0),
    (np.deg2rad(-20), 0,  0.2,   0)
]
T = np.identity(4)
for p in params:
    T = T @ dh_transform(*p)
position = T[:3, 3]
orientation = T[:3, :3]
print("Posición (x, y, z):", position)
print("Matriz de orientación R:\n", orientation)

Este código es fácilmente extensible a manipuladores de cualquier número de grados de libertad simplemente añadiendo más tuplas al vector params.

Comparativa: DH vs. POE vs. KDL

Buenas Prácticas, Optimización y Troubleshooting

1. Pre‑cálculo de sub‑matrices constantes

Si algunos parámetros a_i o α_i son fijos, calcúlelos una única vez y reutilícelos para reducir la carga computacional.

2. Uso de tipos de datos de precisión adecuada

Para simulaciones en tiempo real, float32 suele ser suficiente y reduce la latencia. En planificación offline, prefiera float64 para mayor exactitud.

3. Detección de singularidades

Monitoree el determinante del Jacobiano. Un valor cercano a cero indica una singularidad que puede causar inestabilidad en los controladores.

4. Validación de rangos de articulación

Antes de ejecutar la cadena de transformaciones, verifique que cada θ_i o d_i esté dentro de sus límites mecánicos para evitar configuraciones imposibles.

5. Profiling con cProfile o line_profiler

Identifique cuellos de botella en bucles de cálculo cuando se procesan cientos de poses por segundo.

Ejemplo Real: Brazo colaborativo de 6 DOF

Supongamos un robot tipo UR5. A continuación, se muestra cómo cargar los parámetros DH desde un archivo CSV y calcular la pose de forma vectorizada.

import numpy as np, pandas as pd
def load_dh(csv_path):
    df = pd.read_csv(csv_path)
    # columnas: theta_deg, d, a, alpha_deg
    df['theta'] = np.deg2rad(df['theta_deg'])
    df['alpha'] = np.deg2rad(df['alpha_deg'])
    return df[['theta','d','a','alpha']].values
params = load_dh('ur5_dh.csv')
T = np.identity(4)
for theta, d, a, alpha in params:
    T = T @ dh_transform(theta, d, a, alpha)
print('Pose UR5:', T)

Este enfoque permite reutilizar la misma lógica para cualquier robot simplemente cambiando el archivo de parámetros.

Conclusiones

Las matrices de transformación homogénea siguen siendo la herramienta más robusta y universal para resolver la cinemática directa. Con Python y NumPy se puede crear un motor de cálculo rápido, claro y extensible. Al combinar buenas prácticas –pre‑cálculo, gestión de precisión y detección de singularidades– se consigue un rendimiento que satisface tanto a aplicaciones de simulación offline como a control en tiempo real.