1. Introducción

En la resolución de sistemas lineales, ya sea en ecuaciones diferenciales ordinarias, en análisis de circuitos o en problemas de optimización, la estabilidad de la solución es tan importante como su exactitud. Un algoritmo que determina la estabilidad permite anticipar si pequeñas perturbaciones en los datos de entrada producirán desviaciones aceptables o descontroladas en la solución.

2. Fundamentos Teóricos

Para un sistema lineal discreto del tipo Ax = b o una ecuación diferencial lineal dx/dt = Ax, la estabilidad se evalúa mediante:

• Condición Numérica (Condition Number): cond(A) = ||A||·||A⁻¹||. Un cond(A) elevado indica que el sistema es sensible a errores de redondeo.
• Espectro de Eigenvalores: Para sistemas dinámicos, la ubicación de los eigenvalores de A en el plano complejo determina la estabilidad (parte real < 0 → estable).

Estos dos criterios son complementarios: la condición numérica captura la sensibilidad estática, mientras que los eigenvalores describen la respuesta temporal.

3. Algoritmo de Estabilidad (Pasos Clave)

1. Calcular la condición numérica de A usando la norma 2 (o infinita).
2. Obtener los eigenvalores de A y analizar su parte real.
3. Comparar cond(A) con un umbral (p. ej. 1e10) para decidir si el sistema está bien condicionado.
4. Clasificar la estabilidad:
   • Estable si cond(A) es bajo y todos los eigenvalores tienen parte real negativa.
   • Marginalmente estable si alguno tiene parte real cero.
   • Inestable en los demás casos.

4. Implementación en Python

Se utilizan numpy para operaciones matriciales y scipy.linalg para cálculo de eigenvalores y condición numérica.

import numpy as np
from scipy import linalg
def estabilidad_lineal(A, umbral_cond=1e10):
    """Evalúa la estabilidad de un sistema lineal Ax = b.
    Parámetros
    ----------
    A : ndarray
        Matriz del sistema.
    umbral_cond : float, opcional
        Límite superior para considerar la matriz bien condicionada.
    """
    # 1. Condición numérica (norma 2)
    cond_num = np.linalg.cond(A, p=2)
    # 2. Eigenvalores
    eigvals = linalg.eigvals(A)
    # 3. Clasificación
    if cond_num > umbral_cond:
        estado_cond = "mal condicionado"
    else:
        estado_cond = "bien condicionado"
    partes_reales = np.real(eigvals)
    if np.all(partes_reales < 0):
        estado_eig = "estable"
    elif np.any(np.isclose(partes_reales, 0, atol=1e-12)):
        estado_eig = " marginalmente estable"
    else:
        estado_eig = "inestable"
    return {
        "condicion": cond_num,
        "estado_condicion": estado_cond,
        "eigenvalores": eigvals,
        "estado_eigen": estado_eig,
    }
# Ejemplo de uso
A = np.array([[ -2,  1],
              [ -1, -3]])
resultado = estabilidad_lineal(A)
print("Condición:", resultado["condicion"])
print("Estado condición:", resultado["estado_condicion"])
print("Eigenvalores:", resultado["eigenvalores"])
print("Estado eigen:", resultado["estado_eigen"])

Salida esperada:

Condición: 2.23606797749979
Estado condición: bien condicionado
Eigenvalores: [-2.61803399+0.j -2.38196601+0.j]
Estado eigen: estable

5. Comparativa de Métodos de Análisis de Estabilidad

6. Buenas Prácticas y Optimización

• Escalado de la matriz: Normalizar filas/columnas reduce cond(A) y mejora la precisión.
• Uso de tipos de datos de precisión: Para problemas críticos, emplear float64 o decimal en lugar de float32.
• Algoritmos iterativos (GMRES, BiCGSTAB) cuando n > 10⁴; combinarlos con precondicionadores basados en factorización incompleta (ILU).
• Paralelismo: numpy aprovecha BLAS multihilo; para mayor escala, usar cupy (GPU) o dask.array.

7. Resolución de Problemas Comunes (Troubleshooting)

8. Compatibilidad, Rendimiento y Escalabilidad

El algoritmo presentado funciona en cualquier entorno Python ≥3.8 con numpy y scipy. Para sistemas con millones de variables:

• Utilizar scipy.sparse.linalg.eigs para eigenvalores parciales.
• Emplear cupy.linalg cuando se dispone de GPU NVIDIA.
• Distribuir la carga con dask o Ray para evitar cuellos de botella de memoria.

9. Conclusiones

El análisis de estabilidad combina la evaluación de la condición numérica y el estudio espectral de la matriz. Implementado con numpy y scipy, el algoritmo es rápido, fiable y extensible a entornos de alto rendimiento. Adoptar las buenas prácticas descritas garantiza soluciones lineales robustas, incluso en aplicaciones críticas de control, simulación y ciencia de datos.