1. ¿Qué es una Partición Entera?

Una partición entera de un número n es una colección de números positivos cuya suma es n. El orden de los sumandos no importa; por ejemplo, 4 = 3+1 = 2+2 = 2+1+1 = 1+1+1+1 son cinco particiones distintas de 4.

Este concepto es fundamental en teoría de números, combinatoria y tiene aplicaciones en criptografía, generación de pruebas de software y optimización de recursos.

2. Enfoques Algorítmicos

def partition_recursive(n, max_val=None):
    if max_val is None:
        max_val = n
    if n == 0:
        return [[]]
    result = []
    for i in range(min(max_val, n), 0, -1):
        for tail in partition_recursive(n - i, i):
            result.append([i] + tail)
    return result

from functools import lru_cache
@lru_cache(maxsize=None)
def partition_memo(n, max_val=None):
    if max_val is None:
        max_val = n
    if n == 0:
        return [[]]
    res = []
    for i in range(min(max_val, n), 0, -1):
        for tail in partition_memo(n - i, i):
            res.append([i] + tail)
    return res

def partition_dp(n):
    # tabla donde dp[i][j] = lista de particiones de i usando valores ≤ j
    dp = [[[] for _ in range(n + 1)] for _ in range(n + 1)]
    dp[0] = [[]]
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            if j > i:
                dp[i][j] = dp[i][j - 1]
            else:
                dp[i][j] = dp[i][j - 1] + [[j] + part for part in dp[i - j][j]]
    return dp[n][n]

def partitions_zs(n):
    a = [0] * (n + 1)
    k = 1
    a[0] = n
    while k != 0:
        x = a[k - 1] - 1
        k -= 1
        while x >= 1:
            a[k] = x
            n -= x
            k += 1
            x = min(x, n)
        a[k] = n
        yield a[:k + 1]

3. Comparativa de Rendimiento

4. Casos de Uso del Mundo Real

• Distribución de recursos: dividir un presupuesto o capacidad de almacenamiento entre varios departamentos manteniendo restricciones de tamaño.
• Pruebas de software: generar combinaciones de datos de entrada para validar algoritmos que operan sobre sumas o particiones.
• Criptografía: análisis de funciones de partición en esquemas de ocultación de información.
• Inteligencia Artificial: generación de estructuras de árbol de decisión balanceadas.

5. Buenas Prácticas y Optimización

5.1 Evitar Recursión Profunda

Para n > 30 la recursión simple supera el límite de pila de Python. Utiliza sys.setrecursionlimit() con cautela o prefiere enfoques iterativos.

5.2 Uso de Generadores

Cuando solo necesitas procesar cada partición una vez, emplea yield (como en el algoritmo ZS) para reducir la huella de memoria.

5.3 Cache Distribuida

En entornos de micro‑servicios, almacena resultados parciales en Redis o Memcached para compartir entre instancias.

5.4 Profiling y Benchmarking

Utiliza cProfile y timeit para comparar implementaciones antes de elegir la que mejor se ajuste a tu carga de trabajo.

6. Depuración y Resolución de Problemas Comunes

• Resultado vacío: Verifica que la condición base sea n == 0 y que el parámetro max_val esté inicializado correctamente.
• Duplicados: Asegúrate de generar las particiones en orden no creciente (i.e., usar min(max_val, n)) para evitar permutaciones idénticas.
• Desbordamiento de memoria: Prefiere generadores o la versión tabular con array('I') para almacenar índices en lugar de listas completas.
• Lentitud inesperada: Revisa que la caché no se esté limpiando frecuentemente y que no haya conversiones costosas de tipos (p.ej., de list a tuple) dentro del bucle.