1. Fundamentos de una Transformación Lineal

Una transformación lineal es una función f: V → W entre dos espacios vectoriales que preserva la suma y la multiplicación por escalar:

• f(u + v) = f(u) + f(v)
• f(α·v) = α·f(v)

En coordenadas, cualquier transformación lineal se representa mediante una matriz A ∈ ℝ^{m×n} tal que f(x) = A·x.

2. Representación Matricial y Propiedades Clave

3. Implementación Práctica en Python (NumPy)

NumPy es la biblioteca de referencia para operaciones matriciales en Python. A continuación, ejemplos clásicos.

3.1. Escalado (Scaling)

import numpy as np
# Vector original
v = np.array([2, 3])
# Matriz de escalado 2× en x, 0.5× en y
S = np.array([[2, 0],
              [0, 0.5]])
v_scaled = S @ v
print(v_scaled)  # → [4. , 1.5]

3.2. Rotación 2D

import numpy as np, math
def rotation_matrix(theta_deg):
    theta = math.radians(theta_deg)
    return np.array([[ math.cos(theta), -math.sin(theta)],
                     [ math.sin(theta),  math.cos(theta)]])
v = np.array([1, 0])
R = rotation_matrix(45)
print(R @ v)  # → [0.7071, 0.7071]

3.3. Shear (Cizallamiento)

import numpy as np
# Shear en X respecto a Y
shx = 1.2
Shear = np.array([[1, shx],
                  [0,   1]])
v = np.array([0, 2])
print(Shear @ v)  # → [2.4, 2]

3.4. Proyección ortogonal sobre el eje X

import numpy as np
P = np.array([[1, 0],
              [0, 0]])
v = np.array([3, 4])
print(P @ v)  # → [3, 0]

3.5. Caso real: Reducción de dimensionalidad con SVD

import numpy as np
from numpy.linalg import svd
# Matriz de datos (10 muestras, 5 características)
X = np.random.rand(10, 5)
# Centering
X_centered = X - X.mean(axis=0)
U, s, VT = svd(X_centered, full_matrices=False)
# Mantener 2 componentes principales
k = 2
X_reduced = U[:, :k] * s[:k]
print('Shape reducido:', X_reduced.shape)  # → (10, 2)

4. Optimización, Escalabilidad y Buenas Prácticas

• Uso de tipos de datos adecuados: float32 cuando la precisión de float64 no es necesaria reduce el consumo de memoria en un 50%.
• Operaciones en‑lote: Aprovecha np.einsum o np.dot con matrices pre‑alocadas para evitar bucles de Python.
• Paralelismo: NumPy delega a BLAS/LAPACK; asegúrate de instalar versiones multihilo (OpenBLAS, Intel MKL) para matrices > 500×500.
• Persistencia: Almacena matrices grandes en formato .npz o hdf5 para carga incremental.

5. Depuración y Solución de Problemas Comunes

6. Aplicaciones Reales de Transformaciones Lineales

1. Visión por computadora: Transformaciones de coordenadas en pipelines de detección de objetos (rotación, escalado, homografía).
2. Machine Learning: Componentes principales (PCA), regresión lineal, redes neuronales lineales.
3. Robótica: Cinemática directa/inversa usando matrices de transformación homogénea (4×4).
4. Gráficos por computadora: Modelado de escenas 3D mediante matrices de modelado, vista y proyección.