Introducción a los sistemas lineales dispersos

Un sistema lineal disperso (o sparse linear system) es aquel en el que la mayoría de los coeficientes de la matriz A son cero. Estos sistemas aparecen en simulaciones de mecánica de fluidos, análisis estructural, gráficos por ordenador y aprendizaje automático.

Las ventajas de explotar la dispersión son:

• Reducción drástica del consumo de memoria.
• Mejora del rendimiento computacional al evitar operaciones con ceros.
• Escalabilidad a millones de variables.

Clasificación de los algoritmos

Nota: La elección depende de la estructura de A, la disponibilidad de precondicionadores y los requisitos de precisión.

Ejemplo práctico: Resolución con spsolve (método directo)

import numpy as np
import scipy.sparse as sp
import scipy.sparse.linalg as spla
# Crear una matriz dispersa tridiagonal (tamaño 1_000_000)
n = 1_000_000
main_diag = 2 * np.ones(n)
off_diag  = -1 * np.ones(n-1)
A = sp.diags([off_diag, main_diag, off_diag], offsets=[-1, 0, 1], format='csr')
# Vector del lado derecho
b = np.ones(n)
# Resolución directa
x = spla.spsolve(A, b)
print('Norma del residuo:', np.linalg.norm(A @ x - b))

Este código muestra cómo crear una matriz tridiagonal dispersa en formato CSR (Compressed Sparse Row) y resolver el sistema con spsolve. La norma del residuo indica la exactitud del resultado.

Ejemplo práctico: Resolución con cg (método iterativo) y precondicionador Incomplete Cholesky

import numpy as np
import scipy.sparse as sp
import scipy.sparse.linalg as spla
n = 500_000
main_diag = 4 * np.ones(n)
off_diag  = -1 * np.ones(n-1)
A = sp.diags([off_diag, main_diag, off_diag], offsets=[-1, 0, 1], format='csc')
b = np.random.rand(n)
# Precondicionador Incomplete Cholesky (ichol) usando spilu
M = spla.spilu(A, drop_tol=1e-4)
M2 = spla.LinearOperator(A.shape, M.solve)
x, info = spla.cg(A, b, M=M2, tol=1e-8, maxiter=1000)
print('info:', info)  # 0 -> convergió
print('Norma del residuo:', np.linalg.norm(A @ x - b))

El uso de un precondicionador como Incomplete LU (ILU) acelera la convergencia del CG. Ajusta drop_tol según la tolerancia deseada.

Comparativa de rendimiento (CPU, memoria y tiempo)

Los resultados varían según la arquitectura (CPU, número de núcleos) y la densidad de la matriz. En sistemas con más de 16 GB de RAM, los métodos iterativos suelen ser la opción más rentable.

Mejores prácticas y consideraciones de producción

• Formato de almacenamiento: CSR es óptimo para multiplicaciones A·x, CSC para factorizaciones y solves.
• Precondicionadores: Siempre pruebe ILU, IC, o aproximaciones basadas en multigrid (pyamg) antes de recurrir a un solver directo.
• Escalabilidad paralela: Para matrices >10⁷, evalúe PETSc o SciPy con soporte OpenMP.
• Control de precisión: Ajuste tol y maxiter según la tolerancia requerida en la aplicación (ej. simulaciones de CFD requieren <1e-6).
• Gestión de memoria: Use dtype=np.float32 cuando la precisión doble no sea crítica; reduce la huella de memoria a la mitad.
• Depuración: Verifique el residuo con np.linalg.norm(A @ x - b) y, si es > 1e-4, revise la condición del número de A (np.linalg.cond en forma densa o estimada con scipy.sparse.linalg.eigs).

Problemas comunes y troubleshooting

1. Matrix is singular or near‑singular

Solución: Añada una pequeña diagonal (epsilon = 1e-12) o use un precondicionador robusto como pyamg.smoothed_aggregation_solver.

2. MemoryError al factorizar

Opciones:

• Cambie a un solver iterativo.
• Utilice dtype=np.float32.
• Divida el problema en bloques y resuelva por sub‑dominios.

3. No converge dentro del número máximo de iteraciones

Acciones recomendadas:

• Mejore el precondicionador (p.ej., ajuste drop_tol o use pyamg).
• Re‑escalado del sistema (normalizar A y b).
• Pruebe otro método iterativo (GMRES vs CG) según la simetría de A.

Compatibilidad y entornos recomendados

• Python ≥ 3.8 (se aprovechan mejoras en la gestión de memoria).
• SciPy ≥ 1.10 (incluye spilu mejorado y soporte OpenMP).
• NumPy ≥ 1.24.
• Sistemas operativos: Linux (Ubuntu 22.04+, CentOS 8+), macOS 12+, Windows 10+ (WSL recomendado para rendimiento).

Para entornos de alto rendimiento, considere contenedores Docker con FROM python:3.11-slim y añada apt-get install -y libopenblas-dev liblapack-dev para BLAS optimizado.

Conclusión

Los sistemas lineales dispersos son el núcleo de innumerables aplicaciones modernas. Elegir el algoritmo adecuado –directo o iterativo– y aplicar buenas prácticas de precondicionamiento, gestión de memoria y paralelismo permite resolver problemas de varios millones de incógnitas con precisión y eficiencia.

Empiece con los ejemplos provistos, ajuste los parámetros a su caso de uso y escale a soluciones de producción usando contenedores o entornos de clúster como Kubernetes + MPI.