Introducción

Los vectores son la piedra angular de la mayoría de los algoritmos de ciencia de datos, gráficos por computadora y simulaciones físicas. En este artículo desglosamos los conceptos matemáticos, presentamos implementaciones en Python y comparamos las principales bibliotecas para que elijas la que mejor se adapte a tu caso de uso.

Conceptos Básicos

• Vector: entidad ordenada de n componentes (x₁, x₂, …, xₙ).
• Dimensión: número de componentes del vector.
• Espacio vectorial: conjunto cerrado bajo suma y producto escalar.

Operaciones Vectoriales Fundamentales

1. Suma y resta de vectores.
2. Producto escalar (dot product).
3. Producto cruzado (solo en 3D).
4. Norma (longitud) y normalización.
5. Ángulo entre vectores.
6. Proyección de un vector sobre otro.

Implementación en Python

Existen varias formas de trabajar con vectores en Python. A continuación se presentan tres enfoques populares.

def suma(v1, v2):
    return [a + b for a, b in zip(v1, v2)]
v1 = [1, 2, 3]
v2 = [4, 5, 6]
print('Suma:', suma(v1, v2))  # → [5, 7, 9]

import numpy as np
v1 = np.array([1, 2, 3])
v2 = np.array([4, 5, 6])
# Suma y resta
print('Suma:', v1 + v2)
print('Resta:', v1 - v2)
# Producto escalar
print('Dot:', np.dot(v1, v2))
# Norma y normalización
norm = np.linalg.norm(v1)
print('Norma:', norm)
print('Normalizado:', v1 / norm)

import torch
v1 = torch.tensor([1., 2., 3.])
v2 = torch.tensor([4., 5., 6.])
# Operaciones en GPU (si está disponible)
if torch.cuda.is_available():
    v1 = v1.cuda()
    v2 = v2.cuda()
print('Dot (GPU):', torch.dot(v1, v2))
print('Cross:', torch.cross(v1, v2))

Casos de Uso del Mundo Real

• Machine Learning: Representación de características, embeddings y cálculo de similitud coseno.
• Gráficos 3D: Transformaciones de vértices, cálculo de normales mediante productos cruzados.
• Simulación Física: Cálculo de fuerzas, velocidades y aceleraciones usando normas y proyecciones.
• Procesamiento de Señales: Filtrado FIR/IIR mediante convoluciones vectoriales.

Rendimiento, Escalabilidad y Buenas Prácticas

1. Usa siempre numpy.ndarray o torch.Tensor para operaciones masivas. Evita bucles Python nativos.
2. Pre‑aloca memoria. Cuando procesas millones de vectores, crea el array completo con np.empty(shape, dtype) en lugar de concatenar.
3. Batching. Agrupa vectores en batches para aprovechar paralelismo SIMD/CUDA.
4. Tipos de datos. Usa float32 en GPU para reducir consumo de memoria sin perder precisión significativa.
5. Profiling. Utiliza cProfile, line_profiler o torch.utils.benchmark para identificar cuellos de botella.

Resolución de Problemas Comunes (Troubleshooting)

• Dimensiones incompatibles: siempre verifica v1.shape == v2.shape antes de operar.
• Precision loss en GPU: si notas diferencias entre CPU y GPU, fuerza torch.set_default_dtype(torch.float64) o conviértelo a float64 temporalmente.
• MemoryError en NumPy: usa np.memmap o divide el dataset en bloques.
• Errores de broadcasting: revisa reglas de broadcasting de NumPy; agrega dimensiones con np.expand_dims si es necesario.

Seguridad y Validación de Datos

Cuando los vectores provienen de fuentes externas (API, archivos CSV, sensores), valida siempre:

def validar_vector(v, dim):
    if not isinstance(v, (list, np.ndarray, torch.Tensor)):
        raise TypeError('Vector debe ser lista o array')
    if len(v) != dim:
        raise ValueError(f'Longitud esperada {dim}, recibida {len(v)}')
    return np.asarray(v, dtype=np.float64)

Esto previene inyecciones de código o desbordamientos de memoria.

Conclusiones

Dominar los algoritmos de vectores y sus operaciones es esencial para cualquier profesional de datos o ingeniero de software. Con Python y sus ecosistemas (NumPy, SciPy, PyTorch) puedes implementar soluciones que escalen desde prototipos rápidos hasta sistemas de producción que procesen miles de millones de vectores por segundo.

Recuerda siempre medir, validar y elegir la herramienta adecuada según la carga de trabajo y los recursos disponibles.