1. Introducción

El análisis de singularidades es una rama del cálculo complejo y de la teoría de ecuaciones diferenciales que estudia los puntos donde una función pierde regularidad (puntos donde la función no es analítica, tiene derivadas infinitas o se vuelve indeterminada). En la práctica, identificar y caracterizar esas singularidades es crucial para:

• Evaluar la convergencia de series de potencias.
• Determinar la estabilidad de soluciones de ODE/PDE.
• Optimizar algoritmos numéricos que dependen de la regularidad del dominio.

Este artículo presenta los fundamentos teóricos, los algoritmos más usados y ejemplos completos en Python usando SymPy, mpmath y SciPy.

2. Fundamentos del Análisis de Singularidades

Una singularidad de una función f(z) es cualquier punto z₀ donde f no es holomorfa. Se clasifican en:

• Singularidades aisladas: puntos aislados de no‑analiticidad.
• Singularidades esenciales: la serie de Laurent tiene infinitos términos negativos.
• Puntos de rama: la función multivaluada necesita una rama de corte.

En el contexto de ecuaciones diferenciales, también hablamos de puntos singulares regulares y irregulares según el comportamiento de los coeficientes.

3. Algoritmos Clásicos para Detectar Singularidades

4. Implementación Práctica en Python

A continuación se presentan tres ejemplos que cubren los algoritmos descritos usando librerías populares.

4.1. Serie de Laurent con SymPy

import sympy as sp
z = sp.symbols('z')
# Función con un polo simple en z=1 y una singularidad esencial en z=0
f = sp.exp(1/z) / (z-1)
# Expansión de Laurent alrededor de z=0 (orden 5)
laurent_series = sp.series(f, z, 0, 5)  # incluye términos negativos
print('Serie de Laurent en z=0:', laurent_series)
# Detectar tipo de singularidad
if laurent_series.has(sp.Order):
    print('Polo o singularidad esencial detectada')
else:
    print('Función analítica en el punto')

El resultado muestra términos z**(-n), indicando una singularidad esencial en z=0. Cambiando el punto de expansión a z=1 se obtiene un polo simple.

4.2. Estimación del Radio de Convergencia con mpmath

import mpmath as mp
# Coeficientes de la serie de Taylor de sin(z) alrededor de 0
def coeffs_sin(n):
    return (-1)**n / mp.factorial(2*n+1)
# Cálculo del límite superior de |a_n|^{1/n}
N = 30
limsup = max([abs(coeffs_sin(k))**(1/k) for k in range(1, N)])
radio = 1/limsup
print('Radio estimado de convergencia:', radio)
# Para sin(z) el radio es infinito (entera), la estimación tiende a gran valor.

Este método es útil para funciones definidas por series donde la expansión analítica directa es costosa.

4.3. Detección de Puntos Singulares en Ecuaciones Diferenciales con SciPy

import numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp
# Ejemplo: y'' + (1/x) y' + y = 0  (singular en x=0)
def ode_system(x, Y):
    y, dy = Y
    d2y = - (1/x) * dy - y
    return [dy, d2y]
# Solución evitando la singularidad
sol = solve_ivp(ode_system, [0.1, 10], [0, 1], dense_output=True, rtol=1e-9, atol=1e-12)
# Verificar comportamiento cerca de la singularidad
xs = np.linspace(0.1, 0.5, 5)
ys = sol.sol(xs)[0]
print('Valores cerca de la singularidad (x->0):', ys)

En este caso la singularidad es regular (coeficiente 1/x); la solución muestra un crecimiento controlado. Cambiar el dominio a incluir x=0 provocaría un error de división por cero, señalando la singularidad.

5. Comparativa con Herramientas Alternativas

Python, gracias a SymPy y mpmath, ofrece una alternativa libre, extensible y perfectamente integrable con pipelines de datos y DevOps.

6. Buenas Prácticas, Seguridad y Troubleshooting

• Validar entradas: al trabajar con funciones simbólicas, asegúrese de que las variables estén declaradas y que no haya sustituciones inesperadas que introduzcan divisiones por cero.
• Control de precisión: en mpmath ajuste mp.dps (dígitos de precisión) antes de cálculos críticos.
• Uso de caché: la expansión de series puede ser costosa; almacene resultados con functools.lru_cache cuando repita análisis sobre la misma función.
• Detección de overflow: al evaluar series con términos z**(-n) en punto cercano a la singularidad, use np.seterr(all='raise') para capturar overflow.
• Escalabilidad: para análisis masivo (p.ej., miles de funciones), paralelice con concurrent.futures o Dask para repartir la carga de cálculo de series.

7. Conclusiones

El análisis de singularidades es una herramienta esencial para ingenieros y científicos que desarrollan algoritmos numéricos robustos. Con Python y sus librerías SymPy, mpmath y SciPy es posible:

• Identificar y clasificar singularidades de forma automática.
• Estimar radios de convergencia y determinar la viabilidad de expansiones en series.
• Integrar el proceso dentro de pipelines CI/CD para validar la estabilidad de modelos matemáticos antes del despliegue.

Adoptar estas prácticas mejora la calidad del código, reduce fallos en producción y abre la puerta a optimizaciones avanzadas basadas en el conocimiento profundo del dominio matemático.