Introducción

El Árbol Fenwick, también conocido como Binary Indexed Tree (BIT), es una estructura de datos compacta que permite:

• Obtener la suma de un prefijo O(log n).
• Actualizar un elemento individual en O(log n).

Gracias a su representación basada en índices de bits, el BIT ocupa O(n) espacio y es extremadamente rápido en la práctica. Además, con una ligera variante podemos realizar búsqueda binaria sobre el árbol para localizar el índice cuyo prefijo alcanza un valor dado (útil para encontrar el k‑ésimo elemento).

Conceptos básicos del BIT

Un BIT se representa como un arreglo bit[1..n] (índices 1‑based). Cada posición i almacena la suma de un rango de elementos cuyo tamaño está determinado por el bit menos significativo de i:

bit[i] = sum( a[i - lowbit(i) + 1 .. i] )
lowbit(i) = i & -i

Con esta definición, las operaciones principales son:

• add(i, delta): incrementa a[i] en delta y actualiza los nodos ancestros.
• prefix_sum(i): devuelve ∑_{k=1}^{i} a[k] recorriendo los nodos descendentes.

Ambas se implementan con bucles que manipulan índices mediante i += lowbit(i) o i -= lowbit(i).

Implementación en Python (versión 3.9+)

La siguiente clase FenwickTree contiene los métodos esenciales, además de la funcionalidad de búsqueda binaria para encontrar el índice con una suma prefijo dada.

class FenwickTree:
    """Binary Indexed Tree (Fenwick) con búsqueda binaria.
    Parámetros
    ----------
    size: int
        Número de elementos (el árbol es 1‑based).
    """
    def __init__(self, size: int):
        self.n = size
        self.bit = [0] * (self.n + 1)   # índice 0 sin uso
    # ---------- Operaciones básicas ----------
    def _lowbit(self, i: int) -> int:
        return i & -i
    def add(self, idx: int, delta: int) -> None:
        """Incrementa a[idx] en *delta*.
        Complejidad: O(log n).
        """
        i = idx
        while i <= self.n:
            self.bit[i] += delta
            i += self._lowbit(i)
    def prefix_sum(self, idx: int) -> int:
        """Devuelve la suma de a[1..idx].
        Complejidad: O(log n).
        """
        res = 0
        i = idx
        while i > 0:
            res += self.bit[i]
            i -= self._lowbit(i)
        return res
    def range_sum(self, left: int, right: int) -> int:
        """Suma en el rango [left, right]."""
        return self.prefix_sum(right) - self.prefix_sum(left - 1)
    # ---------- Búsqueda binaria sobre el BIT ----------
    def find_kth(self, k: int) -> int:
        """Devuelve el menor índice *pos* tal que prefix_sum(pos) >= k.
        Si k > total_sum() se devuelve -1.
        Complejidad: O(log n).
        """
        if k <= 0:
            raise ValueError("k debe ser mayor que 0")
        total = self.prefix_sum(self.n)
        if k > total:
            return -1
        idx = 0
        bit_mask = 1 << (self.n.bit_length() - 1)   # mayor potencia de 2 <= n
        while bit_mask:
            next_idx = idx + bit_mask
            if next_idx <= self.n and self.bit[next_idx] < k:
                k -= self.bit[next_idx]
                idx = next_idx
            bit_mask >>= 1
        return idx + 1
    def total_sum(self) -> int:
        return self.prefix_sum(self.n)
    # ---------- Construcción a partir de una lista ----------
    @classmethod
    def from_list(cls, arr: list[int]):
        """Construye el BIT en O(n) a partir de *arr* (0‑based)."""
        ft = cls(len(arr))
        # Copia directa
        for i, val in enumerate(arr, start=1):
            ft.bit[i] = val
        # Acumula los valores de los padres
        for i in range(1, ft.n + 1):
            j = i + ft._lowbit(i)
            if j <= ft.n:
                ft.bit[j] += ft.bit[i]
        return ft

La clase incluye:

• Construcción O(n) mediante from_list.
• Actualizaciones y consultas O(log n).
• Función find_kth que realiza una búsqueda binaria interna.

Ejemplos prácticos

A continuación se muestra cómo usar la clase para los casos de uso más habituales.

arr = [3, 2, -1, 6, 5, 4, 7]
bit = FenwickTree.from_list(arr)
print("Suma total:", bit.total_sum())               # 26
print("Suma[2..5]:", bit.range_sum(2, 5))          # 12 (2 + -1 + 6 + 5)

# Incrementar el elemento en la posición 4 en +3
bit.add(4, 3)
print("Nuevo total:", bit.total_sum())             # 29
print("Nuevo rango[2..5]:", bit.range_sum(2,5))    # 15

# Supongamos que el BIT almacena frecuencias de valores
freq = [0, 5, 2, 0, 3, 1]   # índices 1..5
bit_freq = FenwickTree.from_list(freq)
for k in range(1, bit_freq.total_sum()+1):
    idx = bit_freq.find_kth(k)
    print(f"k={k} → índice {idx}")
# Salida: 1,1,1,1,1,2,2,4,4,4,5 (según frecuencias)

# Puntuaciones iniciales (ordenadas por ID)
points = [0, 10, 20, 15, 5, 30]
bit_pts = FenwickTree.from_list(points)
# Un jugador mejora su puntuación
player_id = 3
bit_pts.add(player_id, 7)   # +7 puntos
# Consultar quién está en la posición 2 (k‑ésimo mayor)
# Necesitamos un BIT de frecuencias de puntajes, no de sumas.
# Aquí solo ilustramos la idea.

Fenwick vs. Segment Tree: ¿Cuál elegir?

En la práctica, para consultas de suma y actualizaciones puntuales el BIT suele ser más rápido y consume menos memoria. Si necesitas actualizaciones de rango o operaciones distintas a la suma, el Segment Tree con lazy propagation es la opción adecuada.

Optimización, buenas prácticas y troubleshooting

🔧 Evita los errores comunes

• Índices 1‑based: El BIT no funciona con índices 0. Siempre inicializa con size+1 o utiliza una capa de adaptación.
• Overflow de enteros: En Python los enteros son arbitrarios, pero si tu aplicación usa numpy.int32 verifica posibles desbordes.
• Valor k fuera de rango: find_kth devuelve -1 si k supera la suma total; maneja este caso antes de usar el índice.

⚙️ Mejores prácticas de rendimiento

• Construcción O(n): Usa from_list en vez de insertar elemento a elemento (add) cuando ya dispones del arreglo completo.
• Acceso contiguo: Mantén el BIT en una lista de Python nativa (no en list de numpy) para aprovechar la caché de CPU.
• Batch updates: Si necesitas aplicar muchas actualizaciones seguidas, agrúpalas y reconstruye el BIT con from_list para lograr O(n) en vez de O(m log n).

🛡️ Seguridad y robustez

El BIT es una estructura puramente algorítmica, sin interacción directa con recursos externos, por lo que los riesgos de seguridad son mínimos. No obstante, si lo integras en una API pública:

• Valida siempre los índices y los valores de k para evitar excepciones inesperadas.
• Limita el tamaño máximo del árbol (por ejemplo, 10^7) para evitar consumos excesivos de memoria.

Compatibilidad, rendimiento y escalabilidad

La implementación presentada es compatible con:

• Python 3.8+ (type hints sin from __future__ import annotations).
• Entornos CPython, PyPy (PyPy obtiene ~2× velocidad en bucles intensivos).
• Plataformas Windows, Linux y macOS.

Para datasets masivos (≥ 10⁸ elementos) considera:

• Usar array('L')` o numpy.ndarray de tipo uint64 para reducir la huella de memoria.
• Dividir el rango en varios BITs (fenwick forest) y procesar en paralelo con concurrent.futures.