1. ¿Qué es la descomposición espectral?

La descomposición espectral (o eigen‑decomposition) consiste en expresar una matriz cuadrada A como:

A = Q \Lambda Q^{-1}

• Q es la matriz cuyas columnas son los vectores propios (eigenvectors) de A.
• \Lambda es una matriz diagonal que contiene los valores propios (eigenvalues) correspondientes.

Esta representación permite analizar la estructura interna de la matriz, facilitar la solución de sistemas lineales, y es la base de técnicas como el Análisis de Componentes Principales (PCA).

2. Algoritmo paso a paso

1. Comprobar que la matriz A sea cuadrada y, preferiblemente, simétrica (para garantizar valores propios reales).
2. Calcular los valores propios λ_i y vectores propios v_i usando rutinas numéricas (NumPy, SciPy).
3. Ordenar los pares (λ_i, v_i) de mayor a menor valor absoluto de λ_i (útil para reducción de dimensionalidad).
4. Construir Q = [v_1, v_2, …, v_n] y \Lambda = diag(λ_1, λ_2, …, λ_n).
5. Verificar la reconstrucción: A ≈ Q @ \Lambda @ Q.T (para matrices simétricas Q^{-1}=Q.T).

3. Implementación práctica en Python

import numpy as np
# Matriz de ejemplo (simétrica)
A = np.array([[4, 1, 2],
              [1, 3, 0],
              [2, 0, 5]], dtype=float)
# 1️⃣ Cálculo de valores y vectores propios
eig_vals, eig_vecs = np.linalg.eig(A)
# 2️⃣ Ordenar por valor absoluto descendente
idx = np.argsort(np.abs(eig_vals))[::-1]
lam = np.diag(eig_vals[idx])
Q = eig_vecs[:, idx]
# 3️⃣ Reconstrucción y validación
A_recon = Q @ lam @ np.linalg.inv(Q)
print('Reconstruction error:', np.linalg.norm(A - A_recon))
# 4️⃣ Uso en PCA (reducción a 2 dimensiones)
X = np.random.randn(100, 3)          # datos ficticios
cov = np.cov(X, rowvar=False)        # matriz de covarianza
vals, vecs = np.linalg.eig(cov)
proj = X @ vecs[:, :2]                # proyección a los 2 componentes principales
print('Shape de la proyección:', proj.shape)

En matrices simétricas, Q.inv() se puede sustituir por Q.T, lo que reduce el coste computacional y mejora la estabilidad numérica.

4. Comparativa con la descomposición en valores singulares (SVD)

En la práctica, para matrices simétricas la SVD y la descomposición espectral son equivalentes (A = U Σ Uᵀ ≈ Q Λ Qᵀ), pero la SVD suele ser más estable numéricamente.

5. Buenas prácticas y optimización

• Usar matrices simétricas siempre que sea posible; permite sustituir inv(Q) por Q.T.
• Escalar los datos (media 0, varianza 1) antes de aplicar la descomposición; mejora la precisión de los valores propios.
• Trabajar con tipos de dato float64 para minimizar errores de redondeo en aplicaciones críticas.
• Limitar la precisión con np.set_printoptions(precision=4) para depuración.
• Utilizar scipy.linalg.eigh cuando la matriz es simétrica; es más rápido que np.linalg.eig.

from scipy.linalg import eigh
# Matriz simétrica
vals, vecs = eigh(A)  # algoritmo especializado para matrices hermitianas

6. Solución de problemas comunes

6.1. Valores propios complejos inesperados

Ocurre cuando la matriz no es simétrica o hermítica. Solución:

• Verificar la simetría: np.allclose(A, A.T).
• Si la asimetría es por ruido numérico, forzar la simetría: A = (A + A.T) / 2.

6.2. Matriz mal condicionada

Los valores propios pueden perder precisión. Estrategias:

• Aplicar np.linalg.cond(A) para medir la condición.
• Usar scipy.linalg.eigvals con el argumento overwrite_a=True para reducir consumo de memoria.
• Considerar la SVD como alternativa.

7. Casos de uso reales

1. Análisis de vibraciones: Los modos propios de una estructura se obtienen mediante la descomposición espectral de la matriz de rigidez.
2. Google PageRank: El vector propio dominante de la matriz de transición del grafo web representa la autoridad de cada página.
3. PCA para visión por computadora: Reducción de dimensionalidad de características de imágenes antes de entrenar clasificadores.
4. Modelado de sistemas dinámicos: Solución de ecuaciones diferenciales lineales usando exponenciales de matrices (requiere eigen‑decomposition).

8. Rendimiento y escalabilidad

Para matrices grandes (n > 10,000) la descomposición completa es prohibitiva (O(n³)). Estrategias:

• Algoritmos de subespacio (ARPACK, implementado en scipy.sparse.linalg.eigsh) para obtener sólo los k valores propios más grandes.
• Representación dispersa (scipy.sparse) para reducir consumo de memoria.
• Ejemplo de cálculo de los 5 mayores valores propios:

from scipy.sparse import csr_matrix
from scipy.sparse.linalg import eigsh
# Matriz dispersa de 10000×10000
A_sparse = csr_matrix(np.random.rand(10000, 10000))
# Solo los 5 valores propios mayores
vals, vecs = eigsh(A_sparse, k=5, which='LM')
print(vals)

Esto permite aplicar la descomposición espectral en entornos de Big Data y aprendizaje automático a gran escala.

9. Seguridad y consideraciones de entorno

• Ejecutar código que carga datos externos dentro de entornos aislados (Docker/Podman) para evitar ejecución de código malicioso.
• Validar la dimensión y tipo de los datos antes de la descomposición para prevenir ataques de denegación de servicio (DoS) por matrices extremadamente grandes.
• Usar versiones actualizadas de numpy y scipy que incluyen parches de vulnerabilidades de desbordamiento de búfer.